[voraa]

Мне вот стало интересно: а обязательно в последнем варианте функцию Registration объявлять через async?

Да. await можно использовать только в async функциях. По синтактическим правилам только в них await является ключевым словом.
Это check можно было без async объявить, т.к она сама по себе возвращает промис.

И еще немного непонятен вот этот момент:

Можно было и не делать так. Просто сделал, что бы именно тут выдать сообщение, что такой адрес уже есть.
Просто дальше уже невозможно будет понять из-за какого поля err стал true.