[Detrimon]

Можно первые два условия притянуть за уши и записать через ||, но по-моему смысла в этом нет Поэтому вот решение только через оператор &&

let name = prompt("Введите имя: ");
let surname = prompt("Введите фамилию: ");
let nickname = prompt("Введите никнейм: ");

function sayHello(name, surname, nickname) {
  if (name && surname) {
    alert(`Здравствуйте, ${name} ${surname}`);
  } else if (!name && surname && nickname) {
    alert(`Здравствуйте, ${nickname}`);
  } else if (name && !surname && nickname) {
    alert(`Здравствуйте, ${name}`);
  } else {
    alert(`Здравствуйте, Noname`);
  }
}

sayHello(name, surname, nickname);