[destus]

Babyslam,
в первом варианте, через new, это примерно следующее

function Rabbit(name) {
  // this = {};
  this.name = name;
  this.func = () => { console.log(this.name)};
  // return this;
}

Поэтому можно сказать что дело в наличии new перед функцией.