Повесить на форму обработчик keydown и при нажатии Enter запоминать элемент
<body>
<form action="#">
<input type=text id=t1>
<input type=text id=t2>
<input type=text id=t3>
<input type=submit id=s1 value=s1>
<input type=submit id=s2 value=s2>
</form>
<script>
let inp = null
document.querySelector('form').addEventListener('submit', (ev) => {
console.log(inp.id)
ev.preventDefault()
})
document.querySelector('form').addEventListener('keydown', (ev) => {
if (ev.key==='Enter') inp = ev.target
})
</script>
</body>