[ksa]

нужно ли указывать path=/; и тп.

Как правило, в качестве пути указывают корень сайта path=/, чтобы куки были доступны на всем сайте.

Domain
Параметр указывает домен, на котором будут доступны куки, включая поддомены.

document.cookie = "name=user;domain=example.com";

https://snipp.ru/jquery/cookie-js