[BorisJe]

BorisJe,
Что вы делаете? Почитайте документацию $.ajax(), cache работает только с GET и HEAD, а src там нет.

Как вы работоспособность проверяете? Откройте консоль (F12), посмотрите ошибки.

$(document).ready(() => {
		$(function() {
			$('quote_form').submit(function(e) {
			  $.ajax({
				url: '/templates/easy_moving/sendmail.php',
				data: $("#quote_form").serialize(),
			  }).done(function() {
				console.log('success');
			  }).fail(function() {
				console.log('fail');
			  });
			  //отмена действия по умолчанию для кнопки submit
			  e.preventDefault(); 
			});
		  });
		});

Захожу во все кроме Done