[QuZ]

page.on('request', async (request) => {
    console.log('url', request.url());
    if (request.url() !== 'https://website.com/api/') {
        return;
    }

    console.log('headers', request.headers());
    console.log('postData - Отправляемый запрос', request.postData());
});

Простите, не совсем Вас понял. А где запрос на получение данных из ответа? Запрос ( postDate и header) я уже получал, в Вашем коде Вы поменяли проверку на принадлежность ссылки к нужному для обработки запросу.