[Magic Light]

Надо смотреть на возможные ограничения. В браузерах есть ограничение - не больше 6 одновременно открытых соединений.
Вроде есть какие-то ограничения в OpenServer на количество одновременных cgi задач. Вот только для вообще или с одной страницы - надо смотреть доки. Покопаться в настройках OpenServer.

Как часто вызываются другие запросы (и как?) Каковы они по продолжительности? Проходят или нет?

Запросы на получение данных о прогресе рассылки делаются через каждые 3 секунды. код следующий:

function formMailingsGetProgressDo(){
    document.querySelectorAll('.mgr-mailings .status-in-progress').forEach(function (el){
        let id = el.getAttribute('data-id');
        let form = O('formMailingsGetProgress');
        form.elements['mailingId'].value = id;
        let formData = new FormData(form);
        ajaxRequest('$host/$lang/manager/mailings/get-progress',
                    formData, 
                    formMailingsGetProgressFinisher);
    });
}
function formMailingsGetProgressFinisher(data){
    let feedback = JSON.parse(data);
    if(feedback.success){
        let id = feedback.mailingId;
        document.querySelector('.mgr-mailings #mailing-progress-' + id).innerHTML = feedback.progress;
    }else {
        console.log('Ошибка при получении прогресса рассылки: ' + feedback.msg)
    }
}

function startMonitoring() {
    formMailingsGetProgressDo();
    setTimeout(startMonitoring, 3000);
}
startMonitoring();

Запросы на прогресс рассылки делаются, но результат их не возвращается. Выполнение всех таких накопившихся запросов происходит одним махом после получения ответа о завершении выполнения основного запроса.