[Mirgorod]

#showPassword находиться не в left-content, а в right-content.
left-content не является ни наследником right-content, ни родителем. right-content следует за left-content.

Также еще непонятным остается то, что при клике, на другую ссылку, которая находится в том же блоке все работает нормально, вот код:

$("#authClick").click(function(){
	if ($("#password_show").display == 'none') {
		$("#password").val($("#password_show").val());
	}
	else {
		$("#password").val($("#password_hide").val());
	}
	$.post('controller/plugins/php/auth.php', {login: $("#login").val(), password: $("#password").val()}, function(json) {
		alert(json);
	});
});

И еще одна особенность - это то, что в left-content и right-content html подгружается при помощи AJAX. Тоесть изначально код страницы имеет такой вид:

...
			<div id="content">
				<div id="left-content">
				</div>
				<div id="right-content">
				</div>
				<div id="clear-content">
				</div>
			</div>
...