[chosen]

теоритически это должно работать
могу предложить попробывать задавать value не с помощью .attr а с помощью .val
либо создавать элемент option уже с атрибутом value (и с текстом за одно)

function(data) {
    $(".InputNoteOption select[name='action']").empty().append(function(index, html) {
        var htmlNew = "";
        $.each(data, function(index, value) {
            htmlNew += '<option value="'+value.id+'">'+value.nameRus+'</option>';
        });
        return htmlNew;
    });
}