[walik]

$(document).ready(function() {
	$("#QuestForm").bind("keyup", show);
	$("#QuestForm").bind("blur", hide);
});

function show(){
    $.ajax({
		url: '/new.html',
		dataType:'html',
		type: 'GET',
        success: function(response) {
			$("#QuickSearch").html("<ul><li>ubuntu</li><li>java</li><li>linux</li></ul>");
			*!*$("#QuickSearch").show();*/!*
			*!*hover();*/!*
        }
	});
}

function hide(){
    $("#QuickSearch").hide();
}

function hover(){
    $("ul li").hover(function(){
        $(this).css("background-color", "#D5E2FF");
        $("#QuestForm").val($(this).text());
		},
        function(){
            $(this).css("background-color", "white");
        }
	);
}

Строчки
$("#QuickSearch").show();
hover();
нужно было вложить в success