Сохранение класса через js
 

Есть простой скрипт

$(document).ready(function () {
$( ".button input" ).click(function() {
$( ".cart" ).addClass('active');
});
});

Не могу нагуглить: как сделать, чтобы добавленный класс сохранялся при переходе на другую страницу?

.addClass()
Добавляет класс(ы) выбранным элементам страницы.
В вашем случае класс active добавится к элементам с классом cart.
Класс cart при этом не изменится.
Что вы хотите сохранить при переходе на другую страницу?