Не могу подобрать слова
 

Добрый день. Всех с праздником. Постараюсь объяснить на пальцах.
Есть <input type="text" name="theme">. Мне нужно, что бы при
событии onClick появлялся список. При щелчке по одному из вариантов списка значение передавалось в value (<input type="text" name="theme">).

Постараюсь объяснить на пальцах как это делать.
Ставите кнопку:

<input type="button" onclick="show();" />

Ставите невидимый список:

<ul style="hidden" id="list">
<li onclick="put(this.innerHTML);">Вариант 1</li>
<li onclick="put(this.innerHTML);">Вариант 2</li>
<li onclick="put(this.innerHTML);">Вариант 3</li>
<li onclick="put(this.innerHTML);">Вариант 4</li>
</ul>

Так же элементам этого списка тоже поставили событие onclikck.
Это событие вызывает функцию put(); и передает ей содержимое элемента (варианта) по которому кликнули.
Теперь в функции обращаемся к нашему input'у и даем ему значение переданное в функцию:

function put(txt) {
     document.getElementsByName('theme')[0].value = txt;
}

А так же пишем функцию которая будет отображать список:

function show() {
    document.getElementById('list').style.display = 'block';
}