Тут вот на что я обратил внимание. Если посмотреть на сайт, который работает (_https://studio-it.kz/), то там устанавливается два кука
googtrans /ru/kk для studio-it.kz
googtrans /ru/kk для .studio-it.kz
А для _https://update.lik-astana.kz/ три
googtrans /ru/kk для .update.lik-astana.kz
googtrans /ru/en для update.lik-astana.kz
googtrans /ru/en для .lik-astana.kz
Причем с разными значениями
Тут уже надо разбираться и экспериментировать.
Файл google-translate.js
строки 23-25
/* Если скрипт не работает или работает неправильно, раскомментируйте и укажите основной домен в свойстве domain */
/* If the script does not work or does not work correctly, uncomment and specify the main domain in the domain property */
// domain: "Get-Web.Site"
Я, честно говоря, не очень понимаю, что там должно стоять.
Можно попробовать раскомментировать и поставить туда
domain: "lik-astana.kz"
Еще в этом файле меня очень смущает строка 103
if (domain == "undefined") return;
Я не могу ее объяснить.
Либо попробовать ее исправить на
if (typeof domain == "undefined") return;
(при этом закомментировать строку 25)
Или попытаться в строку 25 написать
domain: "undefined"