В зависимости от локального времени меняется задний фон
 

Сейчас сделано что в зависимости от серверного времени, таким образом:

<?$date = date("H:i");
if($date >= '04:00' && $date < '11:00')
{
    $bg_class = 'morning';
    $buttons = '<span>утро</span>
		<a href="/?day=Y">день</a>
		<a href="/?evening=Y">вечер</a>';
}
elseif($date >= '11:00' && $date < '18:00')
{
    $bg_class = 'day';
    $buttons = '
		<a href="/?morning=Y">утро</a>
                <span>день</span>
		<a href="/?evening=Y">вечер</a>';
}
elseif($date >= '18:00' || $date < '04:00')
{
    $bg_class = 'evening';
    $buttons = '<a href="/?morning=Y">утро</a>
		<a href="/?day=Y">день</a>
                <span>вечер</span>';
}?>

Как сделать тот же функционал но в зависимости от времени на компе пользователей?

ну это тебе нужно выяснить в какой временной зоне находиться пользователь и соответственно менять зону. Или отправляй скриптами в пхп время которое у пользователя на компе и тем самым и зону его узнаешь

А как узнать время на компе пользователя вида date("H:i")?

ну через javascript можно узнать так:

var unix_timestamp = parseInt( ( new Date() ).getTime() / 1000 );

ну а в PHP этот timestamp можно перевести так:

date("Y-m-d H:i:s", timestamp);