Как заставить постоянно загружать элемент страницы?
 

Можно даже не перезагружать, а как то проверять.

while(!exitGame){
if (cheiHod) {
$('#karts img').live('click', hodUser );
if (!cheiHod) {hodSoper();}
}

Этот код зацикливается.(Или еще что то делается, страница зависает)
Мне надо выполнять функции hodUser и hodSoper в зависимости от переменной cheiHod

конечно зависает и зацикливается, а что вы хотели от бесконечного цикла без задержек:)

используйте например setInterval(function(){}, delay);

У меня цикл не бесконечный.
Переменная exitGame в функциях меняет свое значение

В каких функциях? Если не в тех функциях, которые внутри цикла, то он будет выполняться вечность.

В функциях hodUser и hodSoper

Функция hodSoper будет выполняться, только если переменная cheiHod==false. Иначе вы просто добавляете обработчик на "#karts img", который не сможет выполниться до тех пор, пока цикл не закончится - а он не закончится никогда.

Возможно, вам стоит прочесть пару книг о javascript - список ниже.

Так у меня же в функциях HodUser и HodSoper exitGame меняет свое положение с тру на фолс. Или я чт-то недопонимаю?
Мне просто надо реализовать так, чтобы было возможно кликать по определенным элементам, до тех пор, пока...
а потом уже запретить кликать, т.е. чтобы кликание не давала никаких результатов.

Поставьте в начале обработчиков проверку условия типа такой:

if (!moi_hod)
 return;

В таком случае у меня код выполнится только один раз, а обратно в проверку не вернется