А где, собственно, указание на то, что действие должно выполняться по клику? Может,
$('div.add').click?
Много лишних долларов в коде. jQuery-селектор возвращает jQuery-массив, его нет смысла потом оборачивать в лишний $ - мы ведь нигде не обращаемся к отдельному элементу этого массива.
var div = $(this);
var a = div.children('a');
var i = div.children('input');
var value = i.val(); //берём значение input value
var a_id = a.attr('id'); //смотрим значение a id
Доллары имеют смысл, только если делать вот так:
var div = $(this);
var i = div.children('input')*!*[0]*/!*;
var value = *!*$(i)*/!*.val(); //i - не jQuery, a HTMLElement
Но ещё правильнее в этом случае переписать по-другому:
var div = $(this);
var i = div.children('input')*!*.eq(0)*/!*;
var value = *!*i*/!*.val(); //i - jQuery