Окно браузера на весь экран.
 

Разворачиваю окно таким кодом:

<script type="text/javascript">
function fullscreen3(element) {
if(element.requestFullScreen) {
element.requestFullScreen();
} else if(element.mozRequestFullScreen) {
    element.mozRequestFullScreen();
} else if(element.webkitRequestFullScreen) {
    element.webkitRequestFullScreen();
}
}
fullscreen3(document.documentElement);
</script>
<a style="cursor: move;" onClick="fullscreen3(document.documentElement);return false;">....</a>

После обновления страницы размер возвращается на исходный. Как это можно исправить?

А причем тут jQuery?
По вопросу: нужно записывать в sessionStorage текущее состояние фуллскрина, а при загрузке страницы считывать его оттуда и запускать нужный режим.

Хм, ни раз с sessionStorage не работал(

используй:
https://github.com/AlexChittock/JQuery-Session-Plugin

Ну так начни! Это так просто!

sessionStorage.fullScreen = 1;

if (sessionStorage.fullScreen == true) {
    //
}

имей ввиду, что значения ключей могу быть только строковыми.
Можно воспользоваться тем, что:
"0" == true // false
"1" == true // true

Тут есть пример fullscreen для элементов внутри окна

Только что пришло в голову:

sessionStorage.fullScreen = true.toString();
 
if (sessionStorage.fullScreen === true.toString()) {
    //
}

Все явно и логично.

danik.js, вообще наверняка у сайта найдётся ни один параметр который стоит сохранить, потому логично использовать объект + JSON.parse/stringify.)

Но если уж говорить об одном параметре, то красивее и проще сделать так:

sessionStorage.screenState = 'full';
  
if (sessionStorage.screenState === 'full') {
    //
}

:)