Клонированием объекта
 

Проблема решена, как написал Dilettante_Pro.

М.б. просто использовать clone() ?

<div id="container" style = " border:2px solid black;">   
   <div class="test" style = "position:relative; border:1px solid red;">
       <img src="https://javascript.ru/cat/list/donkey.gif"/>
       <span>Text</span>
   </div>
</div>
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.12.4/jquery.min.js"></script>
<script>
   $('.test').click(function() {
       $(this).clone(true).appendTo('#container');
   });
</script>