При клике на кнопку чтобы курсор не исчезал
 

Что нужно сделать чтобы при клике на кнопку сделанную из div курсор не пропадал в той области где он был.

А что нужно сделать, чтоб он пропадал?

Автор, ты, наверно, говоришь про изменение курсора?
Тогда задай тому диву такой CSS:

cursor: default;

"в той области где он был" - наверное он имеет ввиду инпут, чтобы мигающий курсор с него не соскакивал. Надо возвращать фокус - использовать focus().