На той же странице. За 5 минут до конца игры показывает сообщение о том что "вам осталось 5 минут". И за минуту до конца "Игра закончится в 19 50 Спасибо что принял участие"

У вас там написано по вторникам в 11:27 (пост №39)

Это я тренировался и забыл переписать, вообще
Первое сообщение 19 45 пятница
Второе сообщение 19 49 пятница

Так вы можете так добавить к скрипту

if(dt > WEEK - 45 * MINUTE && dt < WEEK - 45 * MINUTE - SECOND) {
        // по пятницам в 19:45:00 что-то сделать, т. е. после 45 мин. игры
}

https://jsfiddle.net/pb5Lautf/

Кстати заметил, что http://worldclockapi.com/api/json/utc/now выдаёт время с точностью до минуты, а вам надо до секунды, надо найти другой сервер!

А если по этому ?
https://time100.ru/api.php

Может быть, а вы пока проверьте такое

Вот PHP

<?php

header('Content-Type: application/json; charset=utf-8');
echo json_encode(array('currentDateTime' => 1000.0 * time()));

Опубликуйте его у себя на сервере, а затем в моём скрипте у себя на сервере поменяйте адрес в скрипте на сайте, там где fetch("https://...") Может оно у вас всё-таки правильно работает время на сервере...

Нет, не получится... No 'Access-Control-Allow-Origin' header is present on the requested resource.

Куда конкретно это вставить?

Может это чем то поможет?
http://javascript.ru/forum/436963-post10.html