тут у вас кто-то предлагал для записи логов ошибок использовать morgan, но это это как access log для апача или nginx. для лога ошибок можно использовать Winston.
Одним из способов, вероятно, можно вставить логгирование в тот же error handler callback экспресса, который первым аргументом принимает ошибку.

Думаю именно так и поступить. По идее можно и свой логгер написать за час, без npm доп. модулей.
fs async write to end file и подумать о том, когда создавать новый лог файл.