Заменяем:
$fetch = mysql_query("SELECT * FROM cities WHERE city LIKE 'к%' ORDER BY city LIMIT 10");
На:
$fetch = mysql_query("SELECT * FROM cities WHERE city LIKE '%" . strval($_GET['term']) . "%' ORDER BY city LIMIT 10");
$_GET['term'] - это то что ввели в окошко запроса
strval - на всякий случай, чтоб убедится что это строка
% % - для того, чтобы выбирать не только по началу слова, а и по любой его части.