может так считать строки?
только лучше делать это на копии textarea, скрытой где-нибудь
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<title>demo</title>
</head>
<body>
<button>Сколько строк?</button><br>
<textarea style="width: 200px; height: 100px; line-height: 18px;">Hello World</textarea>
<script>
var t = document.getElementsByTagName('textarea')[0],
b = document.getElementsByTagName('button')[0],
lines;
b.onclick = function () {
t.style.height = 0;
t.scrollTop = 1e5;
lines = t.scrollTop / 18;
t.style.height = '100px';
alert(lines);
}
</script>
</body>
</html>