написать функцию, например
function foo(){ alert("Это нестандартный alert!") }
и заменить alert() на foo()
P.S.
хотя, возможно, я изначально неверно понял Ваш вопрос. Возможно, Вам нужно это:
window.alert = function(message){
console.log(message) //здесь выводите сообщение нестандартно)
}
alert("Нестандартный алерт")