Я бы посоветовал начать пользоваться консолью - хорошая штука для отлова ошибок. А что вам нужно сделать я уже сказал: выполнять в конце каждого обработчика вместо
sum = totalSum1 + totalSum2 + totalSum3 + totalSum4;
это:
var sum = 0;
var totalSum1 = parseInt($(#"count_price span").text());
var totalSum2 = parseInt($(#"count_price2 span").text());
var totalSum3 = parseInt($(#"count_price3 span").text());
var totalSum4 = parseInt($(#"count_price4 span").text());
sum = totalSum1 + totalSum2 + totalSum3 + totalSum4;
$("#sum span").text(sum);
Только предварительно исправьте в этом куске ошибки - вы же решетку за кавычки вынесли зачем-то.
Кстати, общий вопрос: а раз вы толком не знаете JS, то зачем взялись за такую задачу? Да еще и с jQuery. Не с этого начинать надо... У вас же в итоге только каша получится. С простого надо было начать.