[devote]

ff 21.0, ie 8

вообще должно работать в этих браузерах

Хотя в ИЕ8 нет события oninput, можно сделать так:

<input id="myinput" />
<script>
    var input = document.getElementById('myinput');
    input.value = localStorage.getItem('dataForMyInput') || '';
    input.oninput = input.onkeyup = input.onmouseup = function() {
        localStorage.setItem('dataForMyInput', input.value);
    }
</script>