[danil-html]

Пример моей реализации.
jquery

$('.btn-counter').click(function(){
	var name = $(this).attr( "title" );
	var like = $(this).attr( "data-count" );
	
	
	$.ajax({
	type: "POST",
	url: "likes.php",
	data: "id="+name+"&like="+like,
	success: function(data){
		('#result').text(data);
	}
	});

});

like.php

<?php
	include_once("config.php");
	
	$id = $_POST["id"];
	$like = $_POST["like"];
	
	$result = mysql_query(" UPDATE `citaty` SET `like` = '$like' WHERE `id` = '$id'; ");
	
	if ($result){
		echo "Все норм";
	}
	else {
		echo "упс";
	}
?>

Ну а что бы нельзя было лайкать дважды, нужно использовать куки