[Lemme]

В данном случае Вы пытаетесь вызвать функцию addActiveClient, в аргумент которой передаете переменную first. Причем, вызываете функцию не по click событию.

function addActiveClient() {
    $(this).addClass('active_client');
}

$('.first_client').on('click', addActiveClient);
$('.second_client').on('click', addActiveClient);