[Kukurikan]

data: obj,

вообщем сделал так
index.php

function sborka(){
    var req = 'site.ru/param1=3&param=2';
    $.ajax({
        url:req,
        type:'GET', 
        dataType:'jsonp',
        success:function(data){
        // сколько пришло
        var cnt = data.response.count ;
        var obj = {};
        //пропускаем через цикл
        for(var i=0; i<cnt; i++){
        //собираем данные по условию
            if(data.response.param[i].id == true){
                obj = {
                    num : i,
                    user:{
                    name1 : data.response[i].raram1,
                    name2 : data.response[i].param2
                    }
                }
            }
        }
        $('.wrap-btn').append('<button class="save" onclick="SaveToBase(\''+obj+'\');">Сохранить в базу</button></div>');
    }          
    });
}

дальше в функции SaveToBase ЗАКОМЕНТИЛ dataType

function SaveToBase(obj){
    var obj = obj ;
    $.ajax({
        url:'SaveToBase.php',
        type:'POST',
        //dataType:'json',
        data:{obj:obj},
        success:function(data){
            // Вывод обратно в index.php для просмотра что отправлял, но ничего не приходит
            $('.content').html(data);  
        }
    });
}

а в обработчике SaveToBase.php

print_r($_POST);

Теперь на index.php возвращает:

Array ( [obj] => [object Object] )