APi есть.
https://esputnik.com/api/methods.html#/v1/contacts-POST
Методы Api amocrm
https://developers.amocrm.ru/rest_api/contacts_set.php
Там вроде доступно все написано, и есть примеры кода на php. Так понимаю проще сделать это на php. Хотя видел, что виджет, который реализует задачу, написан на javascript.