[ksa]

Либо так...

chrome.runtime.onMessage.addListener(
	function(message, sender, sendResponse) {
		var fnc=function(data){
			sendResponse('работает аякс');
		};
		$.ajax({
			url: "http://some.site"
			,type: "POST"
			,data: message
			,success: fnc
		});
		sendResponse('просто');
	}
);