[ksa]

chrome.runtime.onMessage.addListener(
  function(message, sender, sendResponse)
  {
    $.ajax({
      url: "http://some.site"
      ,type: "POST"
      ,data: message
      ,success: function(data)
      {
        sendResponse('работает аякс');
      }
    });
    
    sendResponse('просто');
  }
);

С учетом того, что 14-я строка у тебя работает - то и все остальное должно срабатывать...

function message(Txt) {
	alert(Txt)
};
function test(Fnc){
	setTimeout(function(){
		Fnc('Ok');
	},1000);
	Fnc('Start');
};
test(message);