Апельсин,
DOCTYPE задает строгое соответствие поведения для браузеров и они стараются это делать. Попробуйте так:
<html><body><div id="a1">aaaa</div><div id="b1">bbb</div>
<input type="button" value="ok" onclick="document.getElementById('b').value = '<quote>' + document.getElementById('a1').innerHTML + '</quote><div>' + document.getElementById('b1').innerHTML + '</div>'">
<form name="topic" action="" method="post" id="topic">
<textarea name="b" id="b"></textarea>
</form></body></html>