[voraa]

Что бы выполнялся один раз, можно

this.$btnStart.addEventListener('click', this.start.bind(this),{once:true});

Тогда и удалять не нужно будет.

А что такое importStart?

Ну или так

document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {
    var app = {
        $btnStart: document.getElementById('import-start'),
        $clickHandler: null;
 
        event() {
            this.$clickHandler = this.start.bind(this)
            this.$btnStart.addEventListener('click',  this.$clickHandler);
        },
 
       start() {
            this.$btnStart.removeEventListener('click',  this.$clickHandler);
        },
 
        init() {
            this.event();
        }
    }
 
    app.init();
});