[рони]

Теперь вопрос, почему аварийка в идеале работает в IE, а в остальных браузерах один раз моргает и перестаёт? Как это исправить?

Вы запускаите два одинаковых таймера один на показ другой на скрытие, в идеале они должны перекрывать друг друга, может попробовать устанавливать один таймер с тригером.
для примера...

$(document).ready(function () {
    $("#avariy").click(function () {
            $(".avariyka").everyTime(800, 'timer2', function () {
            $(this).toggle();
        });
    })

    $("#offavariy").click(function () {
        $(".avariyka").stopTime('timer2');
        $(".avariyka").css("display", "none");
    });
});