а что оно не так?
кроме того что добавлен var и закоментировано бесполезное

$(function () {
    var rd = $(".output input:radio");
    $("#slider-vertical").slider({
        animate: true,
        orientation: "vertical",
        range: "min",
        min: 0,
        max: 12,
        value: 1,
        slide: function (event, ui) {
            $("#rangevalue").html(rd.eq(ui.value).val());
            rd.eq(ui.value).prop("checked", true)
        }
    });
    //$("#rangevalue").html($("#slider-vertical").slider("value"));
    $("#rangevalue").click(function () {
        var value = $(":radio[name=Button]").filter(":checked").data("value");
        value && push_action(value)
    })
    $("#rangevalue").html(rd.eq($("#slider-vertical").slider("value")).val());
})

Теперь по умолчанию стоит нужное значение однако оно остается неактивным, то есть чтобы action сработал нужно все ровно сначала передвинуть ползунок ..
Даже если поставить на кнопку отдельно действие, то есть onclick="action(...)", то оно не будет задействовано.. Почему так?

cript,
а почему что-то должно работать само?

имеется ввиду после нажатия (клика) на кнопку

так сделайте активным
просто запустите action(...) если он вам так нужен

а где данные для срабатывания?

Смотрите вот примерный код

<link rel="stylesheet" href="http://code.jquery.com/ui/1.10.3/themes/mint-choc/jquery-ui.css">
<script src="http://code.jquery.com/jquery-1.9.1.js"></script>
<script src="http://code.jquery.com/ui/1.10.3/jquery-ui.js"></script>
<div class="output" style="display:none;">
<input type="radio" name="Button" value="Поднять1" data-value="test1">
<input type="radio" name="Button" value="Поднять2" data-value="test2">
<input type="radio" name="Button" value="Поднять3" data-value="test3">
</div>
<script type="text/javascript">
$(function () { rd = $(".output input:radio"); $("#slider-vertical").slider({ animate: true, orientation: "vertical", range: "min", min: 0, max: 3, value: 1, slide: function(event, ui) { $("#rangevalue").html(rd.eq(ui.value).val()); rd.eq(ui.value).prop("checked", true) } }); $("#rangevalue").html(rd.eq($("#slider-vertical").slider("value")).val()); $("#rangevalue").click(function() { var value = $(":radio[name=Button]").filter(":checked").data("value"); value && alert(value) }) 
})
</script>
<button id="rangevalue" name="Button" class="betbuttons"></button>
<div id="slider-vertical" style="height:200px;" class="slider"></div>

Как мы видим при появлении если нажать на кнопку ничего не произойдет, но если передвинуть ползунок в любую сторону, а потом обратно и нажать на кнопку то действие будет выполнено, вот интересно почему так..?

cript,
вы специально скрипты сжимаите, чтоб не только вас непонять было но и ваш код?если по кнопке никто не кликает и програмно некликает, какого чёрта функция повешанная на клик сработает .

во вторых вы хоть в код вглядитесь -- .filter(":checked") - ищем отмеченный -- его кто-то при загрузке отметил? - и в клике у вас что ? в алерте -- где кавычки

onclick="alert('test')

Я понял, тогда такой вопрос можно ли как то сделать так, чтобы выбранная по умолчанию кнопка всегда была checked?

cript,
да http://htmlbook.ru/html/input/checked