В целом все понимают одно и то же. Давайте не будем устраивать здесь дискуссию (эта тема не для того). Если вам так интересно - здесь рядом есть раздел, посвященный аяксу.

Ну хотя бы скажите, зачем в данной задаче аякс?

Можно отпраить содержимое textarea на сервер в нормальном виде, там допустим сохранить их или еще что. После этого запустить второй скрипт через window.open который заберет эти данные, при этом можно даже передать ему указатель на сохраненные данные. А если использовать файл, то после того, как от туда будут взяты данные его удалить, дабы избежать наполнения мусором.

А что мешает напрямую передать, без сервера?

Если вы снова про $_GET - читайте выше

Ну хотя бы в открываемом окне вызвать

alert(opener.document.getElementById('board').value);

Ему эти данные, как я понял нужны во время выполнения скрипта, до появления у клиента

Ну тогда post.

Как? Если знаете напишите, мне тоже будет интересно.

Ну я так понимаю, проблема только в открытии попапа? Можно я код писать не буду?

С помощью window.open открываем окно с заданным name, потом динамически создаем форму с method=post и target=<вышеуказанное name>, создаем в ней нужные элементы и делаем ей submit.