1)я нашел postmessage . Вторым параметром указывается домен. Что указывать в моём случае с расширением?
2) Я хочу узнать про web sql . Если это можно использовать, то будет удобнее всего!

Ты это в документации по расширениям хрома нашел???
Там вобще-то другие функции используются. Вроде onMessage.addListener()
А что ты будешь для хранения юзать - не принципиально. Важно что юзать это надо в background.js и передавать через сообщения. Вобще, могу ошибаться, опыт по расширениям практически отсутствует.

да, спасибо за ответы и помощь, но я уже полдня копаю как переслать сообщения и не пойму. Инфу брал отсюда http://developer.chrome.com/extensions/messaging.html
там в самом начале пример, как отсылать со страницы, как в моём случае.
Делаю так:
в файле contentscript.js пишу:

chrome.runtime.sendMessage({greeting:"hello"});

В popup.js пишу:

chrome.runtime.onMessage.addListener(
  function(request, sender, sendResponse) {
localStorage['abbrev'] = request.greeting;
  });
  alert(localStorage['abbrev']);

Да что не так-то? Уже не знаю что делать.

Это нужно писать в background.js
Читай сначала http://developer.chrome.com/apps/app_lifecycle.html

Даник, спасибо:victory: Получилось! Оказывается если в background.js добавить данные в localstorage, то эти данные можно считывать и на popup.js