в textaera находиться только текст, никаких элементов, в данном случае <span id="r">world</span> это просто текст, так и работайте с ним как с текстом.
Пример на вскидку, регулярку же конечно советаю доработать, да и не только её:
<input type="text" id="zn">
<textarea id="we">
<span id="r">world</span>
</textarea>
<script type="text/javascript">
function getTextAreaElementIdInnerHTML(textarea, id){
var reg = new RegExp('<.+id="'+id+'".*>(.*)<\/.*>', 'i');
return textarea.value.match(reg)[1];
}
document.getElementById("zn").value = getTextAreaElementIdInnerHTML(document.getElementById("we"), "r")
</script>