Sergiy_, можно добавить 'unsafe-inline' в manifest.json, но так делать не рекомендуется во имя безопасности:
{
...,
"content_security_policy": "script-src 'self' 'unsafe-inline'; object-src 'self'",
...
}
А рекомендуется inline js не использовать, что это такое и как изменить js с соблюдением безопасности можешь узнать
здесь.