Не знаю, у меня нормально работает ваш код
В консоли: child : [object HTMLTextAreaElement]

<form class="vbform" name="quick_reply" id="quick_reply">
<textarea dir="ltr" tabindex="-1" role="textbox"></textarea>
</form>
<a href="#" onclick="insertText(); return false">insert</a>
<script>
function insertText() {  
    var formObject = document.getElementById("quick_reply");
    if(formObject){
      textareaObject = formObject.getElementsByTagName("textarea")[0];
      console.log('child : ' + textareaObject);
    };
  };
</script>

Не знаю почему, но код не хочет выполняться. Может быть, потому что у textarea нету атрибута name?

Тестируй поэтапно.

Сначало убедитесь что скрипт подключён.
Подстраховка: убедитесь что скрипт начинает работу после загрузки всей страницы.
Ну и далее отслеживайте каждый этап.

Да, скрипт подключен:


А как мне узнать, начинает ли скрипт работу после загрузки всей страницы?

JS

window.onload=function(){
  // тут скрипт
}

JQuery

$(document).ready(function(){
  // тут скрипт
});

А вообще яндекс вам тоже бы помог с этим вопросом.

Faab, функция отрабатывает по событию клика. К тому моменту уже все загружено ведь :)
grisha2217,
Приведи полный листинг своего html-файла. От и до. Только не идиотским скриншотом!

danik.js, файл во вложениях

А вы в консоле точно смотрели результаты скрипта?

Замените в вашем скрепте строчки:

var formObject = document.getElementById("quick_reply");
    if(formObject){
      textareaObject = formObject.getElementsByTagName("textarea")[0];
      console.log('child : ' + textareaObject);
};

на

var text = 'Это вставляемый текст ';
document.getElementById('quick_reply').getElementsByTagName('textarea')[0].value += text;

Вы вставили отладочный скрипт, а не готовый вариант.

Faab, как это посмотреть?

Я эту консоль открыл, не знаю, что делать дальше

кликните "консоль" :) Console