Получилось сделать так, чтобы скрипт по нажатию на кнопку отправлял запрос к background.js и получал ответ.
					
function.js:
chrome.runtime.sendMessage({greeting: "123"}, function(response) {
   alert(response.farewell);
});
background.js:
chrome.runtime.onMessage.addListener(
   function(request, sender, sendResponse) {
      if (request.greeting == "123")
         sendResponse({farewell: "321"});
});
Как итог, когда я нажимаю на кнопку. Выпрыгивает алерт 321.
Но если поменять это местами, то background.js выдает ошибку, что farewell не известен. Т.е. background.js не видит function.js. Как это исправить?