Если надо быстро наговнокиодить, то использовать стрелочную функцию: 
document.onmousemove = (e) => {
     moveAt(e);
     this.anymethod();
};
А если делать по человечески, то не должно создаваться каких-то функций внутри mounted, всё должно быть методами, а в обработчик должен назначаться сам объект.
{
  //...
  mounted(){
    //...
    document.addEventListener('mousemove', this);
  },
  methods: {
    //...
    *!*handleEvent(event){
      switch (event.type){
        case 'ondragstart':
          event.preventDefault();
          break;
          //...
        case 'mousemove':
          this.moveAt(event);
          this.anymethod(event);
          break;
        default: 
          //...
      }
    },*/!*
    moveAt(){
      //...
    },
    anymethod(){
      //...
    }
  }
}
P.S. К vue вопрос отношения не имеет, классическая работа с обработчиками событий.