Вот у вас в коде {$obj_doska->name_sort == "cost" && $obj_doska->type_sort == "desc" ? $on_class : ""} - и это проверка сервером условия (тернарный оператор), что нельзя также серверу проверить какие ключи пришли и соответственно выбрать опцию?
У вас четыре комбинации из двух ключей, первая опция должна быть выбрана, если:
$_GET['sort']=='date' && $_GET['tsort']=='desc' ? 'selected' : null
для остальных свои комбинации. И этот оператор проблематично вставить в тело опций?
PS. Сортировка по возрастанию (ASC) она по умолчанию, гонять это значение туда сюда нет смысла.